最小二乘加權法在多相流計量中的應用

    隨著油田開發向自然條件苛刻的沙漠及海洋的延伸，油田越來越需要功能強、自動化程度高、體積小、操作方便的油井產出液計量設備來提高油藏的管理水平和勞動生產率^{[1-2]_。}然而，由于油井產出液是流型復雜、成份多變的多相流，要想對其直接進行精確計量比較困難。目前，多相計量技術的研究主要集中在基于各種射線或者超聲波的層析射線成像技術，以及基于多信號處理技術、神經網絡技術以及模糊模式識別技術等所謂“軟”測量方法^[3-4]。

    近10a來，中國石油大學流體測試實驗室在多相流體力學和多相流測量方面做了大量的基礎理論研究和試驗研究。在此基礎上，基于“軟”測量方法的考慮，開發出智能型多相流量計測系統，并且實現了工業樣機的定型和現場實液測試，研究成果通過了相關部門的鑒定。

    1 計測原理

    將沖量定理應用于多相流質量流量的計測，并結合小孔出流模型的壓降與出流速率的關系，確立了多相流體質量流量與相關多個物理參量之間的定量關系。利用人工神經網絡建立家系統，通過重復利用這種定量關系，并根據已知油、水各自單相的質量密度，進步計測出油、水各相的質量流量，氣體的質量流量由氣體差壓值擬合求解。

    試驗裝置主體結構如圖1，其計量流程可簡單描述為：被計量多相流經三相流入口進入試驗裝置，經氣液分離裝置預分離后，氣體主要積聚在樣機的上部空間，并經氣體旁路流入三相混合器；液相則經氣液分離器下方的U形管組分測量儀進入沖量噴嘴，后與氣相在三相混合器混合后經三相流出口流出試驗裝置。

    2 試驗數據采集

    近年來，對以前的試驗裝置進行了優化和改進，建立了新的試驗裝置，并在中國石油大學流體測試實驗室進行了大量的實驗室模擬試驗。計量裝置上的儀表和單相流量計的信號都要傳給微機，為了準確采集各相參數，保證系統穩定運行，結合現場實際，設計了套基于U303型數據采集卡的用數據采集、監視系統，通過采集系統采集了大量數據樣本，進行學習。

    三相流模擬流體介質為白油、自來水、空氣。本計測系統安裝了2套差壓傳感器、2套微差壓傳感器、1套壓力傳感器、1套力傳感器。信號傳輸采集部件主要包括信號線、信號轉換器和數據采集卡。

    在試驗研究階段，計測系統計測軟件共采集9個通道（Channel）的信號。各學習工況的數據采集由實驗室編制的采集程序自動完成，主要采集油相質量流量、氣相質量流量、水相質量流量、噴嘴力傳感器信號值、噴嘴差壓傳感器信號值、環形空間上行差壓傳感器信號值、環形空間下行差壓傳感器信號值、氣體通道差壓傳感器信號值、容器體壓力傳感器信號值等9組數據。樣本采集模塊產生的學習樣本包含16組數據，是在試驗過程中不斷完善的結果，下面分組介紹。

    前4個數據為第1組，是3個單相流量計在1個采樣周期的累計流量信號以及采樣周期。試驗測

    定采樣周期為45s。數據對應的變量分別為：

    oil-meter：油單相流量計的計測質量流量；

    gas-meter：氣單相流量計的計測質量流量；

    water-meter：水單相流量計的計測質量流量；

    time-cycle：采樣周期。

    接下來的4個數據為第2組，是多相流量計下部液相區的控制參量。數據對應的變量分別為：

    afmx，sfmx：噴嘴力傳感器信號的均值和方差；

    apmx，spmx：噴嘴差壓傳感器信號的均值和方差。

    接下來的4個數據為第3組，是多相流量計中部液相區的控制參量。數據對應的變量分別為：

    apup，spup：環形空間上行微差壓傳感器信號的均值和方差；

    apdn，spdn：環形空間下行微差壓傳感器信號的均值和方差。

    后4個數據為第4組，是多相流量計其他傳感器的信號，數據對應的變量分別為：

    apgs，spgs：氣體通道差壓傳感器信號的均值和方差；

    apvo，spvo：容器體壓力傳感器信號的均值和方差。

    3 試驗數據處理

    3.1 建立計量家系統

    利用樣本采集模塊采集到的大量試驗數據，尋求多參變量系統的特征參量與其狀態參量之間的映射關系，建立“家系統”，繼而通過計測系統測量傳感器信號的值，并由所建立的“家系統”確定出相應狀態參量的值，從而實現對多相流系統的測量。

    為了尋求優的參量之間的對應關系，在對工業樣機的特征參量與狀態參量的選取及構造其間的對應關系時，充分考慮測量原理并充分利用所得的測量數據，終確定由以下方法來確定特征參量與狀態參量之間的關系。

    3.1.1 選取狀態參量與特征參量

    在狀態參量的構造上，采用液相、氣、含水率作為狀態參量。為方便描述，將狀態參量構成的狀態參量空間記為

    Y={Y^（1），Y^（2），⋯，Y^（n）}（n為狀態參量總數）式中，Y^（j）=（y^（j）1，y^（j）2，⋯，y^（j）z）^T（j=1，2，⋯，n；z為樣本總數）。

    把除去油、氣、水3個單相后的所有采集到的參量及參量的組合都認為是特征參量，為方便描述，將特征參量構成的特征參量空間記為

    X={X^（1），X^{（2）_{，⋯，}}X^（m）}（m為特征參量總數）式中，X^（i）=（x^（i）1，x^（i）2，⋯，x^（i）n）^T（i=1，2，⋯，m；n為樣本總數）。

    3.1.2 處理樣本數據并確定狀態參量與特征參量之間的關系

    程序算法中擬合Y和X之間的關系式時，并非對數據進行全程擬合只得到個唯的Y=F（X），而是分級擬合，每級有1個擬合關系式Y=F（X）。在分級中，運用了“浮動網格”的數學思想，傳統的分級做法是先對分級變量進行排序，然后按1個固定的值為分割單元，對分級變量進行等區間分割為若干等級。“浮動網格”的數學思想則是對分級變量先進行排序，再按個數分成若干個區間，使每個區間內的數據個數相等，而不是每個區間范圍大小相等。這樣每級的起點與終點值之差并不相等，但每級內的數據總數相等，也即樣本容量大小相等，保證了數據的均衡性。

    在對排序后的分級變量進行分級時，如果某區間范圍內數據“稠密”，說明在試驗過程中該變量在這區間范圍內出現的概率大。對這區間分級越多，擬合出的關系式就越能貼近真值，減小誤差。而對較為“稀疏”帶，該變量在這區間范圍內出現的概率就小，擬合出的誤差對整個計量結果的誤差影響相對較小。因而，實際上“浮動網格”的分級思想依據數據疏密的不同，把全程數據分為了若干級，從而減小了擬合誤差，提高了擬合結果的可靠性。

    對于分級變量的選取，事實上并不存在嚴格意義上的用個變量分級就比用另變量好的問題，只是從試驗時采集到的狀態參量的穩定性以及與目標函數也要有定的相關性2方面考慮，選取狀態參量中穩定性較好的作為分級變量。在分級變量的選擇中均選用了穩定性好的下部差壓作為各擬合關系式的分級變量。這樣，在計量中避免完全相同的工況下僅因分級變量的波動過大造成該工況的擬合方程Y=F（X）不同而出現較大的誤差。本試驗把分級變量都分為了10級。

    構造方程為

    式中，X1^j_i、X2^j_i、X3^j_i分別為液相、氣、含水率3個狀態參量，為已知量；C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i為擬合系數，為未知量；i、j為特征參量。

    對于每個特征參量，都有n組數據（試驗得到），運用小二乘法，都可以得到1個與液相、氣、含水率相關聯的方程。

    般在線性假設中，為了研究總體回歸模型中變量X與Y之間的線性關系，需要求1條擬合直線。1條好的擬合直線應該是使殘差平方和F到小，依此準則并確定X與Y的關系，這就是著名的“普通小二乘法”（OrdinaryLeastSquares）。小二乘準則認為系數應這樣選：使得ε_i對所有的i的殘差平方和F小^[5]_。則有

    根據微積分學極值原理，要使F小，分別對C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i求偏導，其階偏導應為零。這樣可以得到3個偏微分方程，將其整理為矩陣方程，即

    式中，i為特征參量，i=1，2，3，⋯，12；j為級數，j=1，2，3，⋯，m；z為每級的樣本總數，z=1，2，⋯，n。

    運用高斯消元法進行消元求解，確定相應的擬合系數C1ji、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i，并由此得到擬合系數矩陣。

    3.2 小二乘加權法求解狀態參量

    小二乘加權法與上面小二乘法不同之處在于，F式中不同的數據點的權重應有所差異，在此先引入數據點的定義。

    數據點是指在某個時點上因變量和所有的解釋變量所組成的集合。數據點i即為第i個對象或第i期觀測值（y_i，x_1i，x_2i，⋯，k_ki）。小二乘準則基于這樣種假設：變量之間存在著的數量關系在所有的數據點上都成立。

    在離差平方和算式F中，所有的數據點i對于待預測或待控制數據點的影響或解釋的地位是樣的，權數都為1/n。但是值得質疑的是不同數據點的變量之間的數量關系存在差異，即已知數據點對所預測或控制的對象的影響力度應該是不樣的。因為目的不是為了擬合直線，而在于預測或控制應用，所以有理由給予“影響力更大、更重要”的數據點以更大的權數。這里提出的小二乘加權法正是基于這樣的思想，對不同的數據點給以不同的權數W_i來求小殘差加權平方和^[6-8]_。

    構造方程為

    式中，C1^j_i、C2^j_i、C3^j_i、C0^j_i為擬合系數，為已知量；X1^j_i、X2^j_i、X3^j_i分別為液相、氣、含水率3個狀態參量，為未知量；i、j為特征參量。

    根據小二乘準則，系數應這樣選擇：使得ε_i對所有的i的殘差平方和Q（W，X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）小，則有

    實際運用時，權數往往是在研究數據點的相互影響關系特點后預先予以確定的，故上式可轉化為

    式中，W^j_i為已知的預定參數。對照上式可知，普通小二乘法是小二乘加權法在所有數據點的權W^j_i=1時的個特例。

    在小二乘加權法中，權重設置比較關鍵。由前面的分析已知，權重是已知或可控數據點與待預測數據點之間聯系作用大小的函數，權重Wi與采集數據之間有相關關系，傳感器采集的數據與液相、氣、含水率之間關系越小，說明與待預測點的偏差大，關聯作用弱，權重��；傳感器采集的數據與液相、氣、含水率之間關系越大，說明與待預測點的偏差小，關聯作用強，權重大。應用中為簡化運算，可根據各已知傳感器采集的數據點與液相、氣、含水率數據點之間進行擬合，得到該傳感器與液相、氣、含水率之間的1個相關變量，作定性分析而加以設定。從而根據不同傳感器所采集的不同數據均與液相、氣、含水率之間進行關系擬合，得到各自的相關變量，即為各自的權重。

    下面來求QW（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）中的參數X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i。在多元線性回歸模型中

    Q_W（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）是X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i的函數，根據小二乘準則，有

    根據微積分學極值原理，要使QW（X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i）小，分別對X1^j_i，X2^j_i，X3^j_i求偏導，其階偏導應為零，即

    整理為矩陣方程，即

    所得方程組通過VC++編程，用高斯消元法實現液相流量、氣、含水率的終求解結果。由液相流量和U形管組分儀的計測結果，可以得到油、水單相流量的計算結果，終求得油、氣、水的單相流量。

    4 結論

    1）智能型多相流量計計測系統成功地將多相流流動規律、神經網絡技術、多傳感器綜合技術、VisualC++編程實時控制等有機地結合起來，創造了種簡單、實用的多相流計量方法。

    2）數據處理中通過小二乘加權法求解，充分利用了多路傳感器所測數據各自對油、氣、水測量影響的重要性，提高了測量的精度。

    3）該計測系統試驗數據表明：液相總量相對誤差在±5%以內，液相含水率相對誤差在±1.5%以內；氣相相對誤差在±20%以內，氣相的相對誤差則較之前有了良好的改進。

    4）試驗結果滿足了評價多相流量計性能的要求，計測精度可以滿足油田生產管理以及油藏監測等的需要，其中液相流量計測精度和含水率的計測精度均達到并可以超過當前多相流量計的佳水平。

    參考文獻：

    [1]JamiesonAW。MultiphaseMetering2theChallengeofImplementation[J]。MeasurementandControl，1999，32（1）：58262。
    [2]林軍，董守平。智能型多相流量計現場試驗研究[J]。工程熱物理學報，2005，26（3）：462-464。
    [3]蘇欣，袁宗明，范小霞。多相流量計的研究與應用[J]。石油化工自動化，2006（1）：93-101。
    [4]左芳君，鐘功祥，呂治忠，等。油氣水多相測量系統的設計[J]。石油礦場機械，2007，36（10）：58-60。
    [5]程永生，湯兵勇�；�于數據點重要性差異的小二乘加權法[J]。東華大學學報：自然科學版，2006，32（6）：51-55。
    [6]左芳君，鐘功祥，梁政，等�；�于傳感器的融合技術對原油含水率的測量[J]。石油礦場機械，2008，37（3）：84-86。
    [7]WooldridgeJM。IntroductoryEconometrics：AMod2ernApproach[M]。2nded。Stamford，CT：South2Western，Thomson，2003。
    [8]馬希金，邵蓮。多相流量計量技術綜述[J]。石油礦場機械，2008，37（5）：59-62。